[2609] 최대공약수와 최대공배수

문제

두 개의 자연수를 입력받아 최대 공약수와 최소 공배수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 두 개의 자연수가 주어진다. 이 둘은 10,000이하의 자연수이며 사이에 한 칸의 공백이 주어진다.

출력

첫째 줄에는 입력으로 주어진 두 수의 최대공약수를,둘째 줄에는 입력으로 주어진 두 수의 최소 공배수를 출력한다.

예제 입력

24 18

예제 출력

6 72

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문제 풀이

처음엔 단순히 하나의 약수를 구해서 최대 공약수를 구하는 방법으로 전개했다. 하지만 인터넷을 찾아보니 유클리드 호제법이라는 것을 알아 낼 수 있었다.

유클리드 호제법(- 互除法, Euclidean algorithm)은 2개의 자연수 또는 정식(整式)의 최대공약수를 구하는 알고리즘의 하나이다. 호제법이란 말은 두 수가 서로(互) 상대방 수를 나누어(除)서 결국 원하는 수를 얻는 알고리즘을 나타낸다. 2개의 자연수(또는 정식) a, b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면(단, a>b), a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다. 이 성질에 따라, b를 r로 나눈 나머지 r'를 구하고, 다시 r을 r'로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 나머지가 0이 되었을 때 나누는 수가 a와 b의 최대공약수이다. 이는 명시적으로 기술된 가장 오래된 알고리즘으로서도 알려져 있으며, 기원전 300년경에 쓰인 유클리드의 《원론》 제7권, 명제 1부터 3까지에 해당한다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%ED%98%B8%EC%A0%9C%EB%B2%95

1071과 1029의 최대공약수를 구하면, 1071은 1029로 나누어떨어지지 않기 때문에, 1071을 1029로 나눈 나머지를 구한다. ≫ 42 1029는 42로 나누어떨어지지 않기 때문에, 1029를 42로 나눈 나머지를 구한다. ≫ 21 42는 21로 나누어떨어진다. 따라서, 최대공약수는 21이다. 78696과 19332의 최대공약수를 구하면, 78696 ＝ 19332×4 ＋ 1368 19332 ＝ 1368×14 ＋ 180 1368 ＝ 180×7 ＋ 108 180 ＝ 108×1 + 72 108 ＝ 72×1 ＋ 36 72 ＝ 36×2 따라서, 최대공약수는 36이다.

위의 예시처럼 a와 b를 나눠서 그 나머지를 구하고, b와 그 나머지(r)를 나누고 나온 r'을 r과 다시 나눈다. 이 과정을 나머지가 0일 때까지 반복하면, 그 수가 a와 b의 최대공약수이다.

최대공배수는 a와 b를 곱한 값을 최대공약수로 나누면 된다.

다음 코드는 두가지 방식으로 이 문제를 푼 것이다.

/* 최대공약수와 최소공배수 */
/* 2019-08-19 최대공약수와 최소공배수 */

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int g_d=1;
/*
int main() {
	int a, b;
	int g_d = 0;
	vector <int> a_list, b_list;
	cin >> a >> b;
	for (int i = 1; i <= a; i++) {
		if (a%i == 0) a_list.push_back(i);
	}
	for (int i = b; i >= 1; i--) {
		if (b%i == 0 && g_d==0) {
			for (int j = a_list.size()-1; j >= 0; j--) {
				if (i == a_list[j]) {
					g_d = i;
					break;
				}
			}
		}
	}
	cout << g_d << endl << (a*b) / g_d << endl;
}*/

void gcd(int a, int b) {
	int tmp = a % b;
	if (tmp == 0) g_d = b;
	else {
		gcd(b, tmp);
	}
}
int main() {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	if (a > b) gcd(a, b);
	else gcd(b, a);

	cout << g_d << endl;
	cout << a * b / g_d;
}